大学の入試問題の一般化~1999年阪大理系~ - ふたごはたいてい区別がつかない

こんにちは,最近グラブルのやる気が戻ってきました.たまに真剣にやると面白いゲームですよね. Apexをやりながらフルオート回しとかが一番いいですね.

さて,本題に入りましょう.　先日,高校生に数学を教えていたときに以下の問題がありました.
f:id:mist0ne:20210321221730j:plain これは大阪大学の1999年度理系前期の問題なのですが,この問題を解くためには背理法で簡単に示せます.
これを少し一般化してみましょう.

「nを3以上の自然数とし、n≠4とする.　この時,すべての頂点が有理数点である正n角形は存在しない」

ところで, $n≠4$ としたのはすぐに反例が見つかります. 例えば,各辺の長さが1の正方形を考えればよいです.

それでは示していきます. 背理法を用います. $\mathbb{R}^2$ 平面上の正n角形のすべての頂点が有理数点であると仮定しましょう. また,このとき正n角形の重心も有理数点であるので,平行移動することにより重心を原点になるようにできます. したがってこの先の議論では元から重心が原点である正n角形として議論しても問題ありません.
また,正多角形の1つの頂点がx軸正の部分にあると仮定しても大丈夫です. イメージとしては以下のようなものです. f:id:mist0ne:20210321223631p:plain
さて, $\mathbb{R}^2$ を $\mathbb{C}$ と同一視して考えます. 正n角形ですので,各頂点を $e^{\frac{2\pi i}{n}}$ 倍すると,元の位置に戻ってきます.

ここで,示したいことを言い換えておきましょう. $\mathbb{C}$ 上の有理数点は $\mathbb{Q}(i)$ と表せます.*1 また,もし全ての頂点が有理数点であれば、 $\mathbb{Q}( \zeta)$ (ただし, $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{n}}$ ) $\subset \mathbb{Q}(i)$ となるはずです.

ここで,体の拡大次数に注目してみましょう.
[ $\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}$ ] $=2$ は明らかでしょう. また体論の結果より以下がわかります.
$L,M,K$ を体とし, $L/M/K$ であるとする. このとき以下が成り立つ.
[ $L:K$ ] $=$ [ $L:M$ ][ $M:K$ ]