ホモロジー群の定義と具体的な計算について 前編
こんにちは. めちゃくちゃ久しぶりの更新になります.
近頃はなんだかんだ忙しくて、Twitterとかも見れないときが多くて悲しい. 先日終わった光古戦場では戦貨ガチャを回すのを忘れ、1度も戦貨ガチャを回すことなく終わってしまった;;
ところで、今日のテーマはホモロジー群についてです. 先日中学生の教科書を眺めていると、オイラーの多面体定理を見つけました. オイラーの多面体定理は、オイラー標数という位相不変な値があるのですが、それが凸多面体の時において2となるという主張です. ということで今日はホモロジー群や、オイラー標数、その具体的な計算について見ていきたいと思う. 厳密に書くと長々としたものになるので、自己満足のブログらしく端折りながらやっていきたいと思う.
単体と複体について
まず初めに、十分大きな自然数をとり、考察する図形はの部分集合であると考える.
定義1 の個の点が一般の位置にあるとは、個のベクトルが線形独立になることである.
定義2(単体) 一般の位置にある個の点をとり、となる個の実数によってと表せる点全体の集合をと書き、n次元単体という. またと表すこともある.
下の二つの図は1単体と2単体である.
定義3(辺単体) n次元単体の各頂点のうち、任意にq個を選ぶ. はもちろん一般の位置にある. したがって、q単体が定まる.これをq次元辺単体という.
これをとかく.
定義4(複体) 有限個の単体からなる集合であって、以下の二つの条件を満たすとき、を複体という.
(i) ならば、の任意の辺単体について、となる.
(ii) をの二つの単体とし、とすると、はの辺単体であり、かつの辺単体でもある.
ホモロジー群について
n単体 に対して、その個の頂点を並べ替えた列[Tex:(a{i_0},a{i_1},...,a{i_n})]全体を考える, この置換の符号が等しいときに~と定めると、~は同値関係となる.
この同値類のことをの向きという. この同値類をとかく.
ある奇置換による同値類<[Tex:\prec |a{i_0},a{i_1},...,a{i_n}| \succ ]と<を用いて、[Tex:\prec |a{i_0},a{i_1},...,a_{i_n}| \succ] とし、と逆の向きを持つとする.*1
Kをm次元複体とし、を複体Kのq単体とする. それぞれに任意に向きを指定することにより、向きのついたq単体ができる. 形式的な和として
全体を考える. これに適当に和を定めることで加群となる. この加群をと書き、q次元鎖群という.
ここで、を以下で定める.
じつはこれは準同型になる. これを境界準同型という.
代数学の知識より、はの部分加群であることがわかり、それをと書く.
またはの部分加群であり、と書く.
Fact 1
このことから次の事実が自ずとわかる.
Fact 2
以上の事実から商加群が定義できる.
定義5 (ホモロジー群) をq次元ホモロジー群という.
以上でホモロジー群が適当ではあるが定義できた. 細かいところについては各自適当なホモロジーの教科書を読んでいただきたい.
次回の後編では、オイラー標数を定義したり、定義に従ってn単体のホモロジー群を求めたり、マイヤービートリス完全系列を紹介したうえでそれを用いてトーラスのホモロジー群を求めたいと思う.
最後になったが、このブログを書きながら、なんで教科書を読めば体系的に上手く書かれている内容を端折って拙い日本語でまとめてるのだろうと虚無感に襲われた。しかし、本気で数学をやろうとしている人間は教科書を読もうとすると思うが、 ふと数学に興味がわいた人に数学書を読みこなせというのは酷であろう.ゆるく読んで、なんかやってなんなとなるくらいのブログが自分の目標なのかもしれない。と書きながら思っていた.