数学を感覚的に理解する的な話 - ふたごはたいてい区別がつかない

こんにちは、久々に数学の話をしたいと思います。

今回は群論についての話で、その中でも特にアーベル化の普遍性を感覚的に理解することをします。
まず言葉の説明をします。群とは、簡単に言えば掛け算のみができる集合のことと理解していただければよいです。厳密に書くならば以下を満たす集合のことです。

集合 $G$ が群であるとは、演算 $G\times G \rightarrow G ;(a,b)\mapsto ab$ が存在し、以下の３つを満たすことである。特に４番目を満たすときアーベル群（可換群）という。
(1) $\forall a,b,c\in G,(ab)c=a(bc)$ （結合則）
(2) $\exists e\in G s.t. \forall a\in G ,ae=ea=a$ （単位元の存在）
(3) $\forall a\in G ,\exists b\in G s.t. ab=ba=e$ （逆元の存在）
(4) $\forall a,b \in G ,ab=ba$

アーベル化について話すために準同型も定義しておく。
$G,H$ を群とする。写像 $\phi :G\rightarrow H$ が群準同型であるとは、以下を満たすことをいう。
$\forall a,b \in G , \phi (ab)=\phi (a)\phi(b)$

実は、可換でない群 $G$ に対して、 $G$ に最も近いアーベル群を得る操作が存在する。これをアーベル化というのだが、これは以下のように定義される。ここでは厳密に定義を述べるが、平たい言葉で言うならば、可換ではない元は潰してしまって1にしてしまうという操作である。
$G$ を群とする。 $x,y\in G$ に対し、その交換子を $[x,y$ ] $=xyx^{-1}y^{-1}$ と定義する。このような元たちが生成する $G$ の部分群を $G$ の交換子群といい、 $[G,G$ ] とかく。
ここで、 $G$ のアーベル化を、 $G/[G,G$ ]と定義する。

実は、アーベル化にはある種の普遍性が存在する。それは以下のようなものである。

$G$ を群、 $H$ をアーベル群とし、 $\phi :G\rightarrow H$ を群準同型とする。この時、この準同型は $\pi :G\rightarrow G/[G,G$ ]と $\psi :G/[G,G$ ] $\rightarrow H$ を経由して分解する。すなわち、 $\phi = \psi \circ \pi$ となる $\psi$ が存在する。

この普遍性を感覚的に理解するには、簡単にわかる以下の事実が重要である。
$G$ を群とし $H$ をアーベル群とし、 $\phi :G\rightarrow H$ を準同型とする。このとき次が成り立つ。
$\forall a,b\in G , \phi (ab) = \phi (a)\phi(b) =\phi (b)\phi (a)=\phi(ba)$

さて、これを踏まえた上で普遍性を考察しよう。上の事実から、可換な元は可換な元に送られる。しかし、可換でない元はどこに送られるであろうか。答えは簡単で、単位元 $e\in H$ に送る以外送れる場所がない。したがって、このような射はアーベル化 $G/[G,G$ ]を経由する。