無理数なんですか？と言われて説明できますか？？？

はい、こんにちは.
今日は表題通りのことについて語りたいと思います.

みなさんは「無理数って何？」と尋ねられたらなんと答えるでしょうか.おそらく、高校程度の数学を覚えてる方は「実数の中で、有理数ではないもの」と答えることでしょう.実際これは高校の教科書での説明です. それでは、別の質問をして見ましょう.「実数ってなんでしょうか？」.これを尋ねられると多くの方は「有理数と無理数を合わせたもの」と答えることでしょう.
お分かりのとおり、循環論法になっているのです.

そもそも実数(以下 $\mathbb{R}$ と書きます.)ってやばい集合ってことをご存知でしょうか？やばい集合である例を以下で述べてみましょう.

みなさんは、 $(0,1)$ (0から1までの実数全部)と $\mathbb{R}$ 全体だとどちらのほうが入っている数の個数が多いと思いますか？もちろん、 $(0,1)\subset \mathbb{R}$ なので、 $\mathbb{R}$ の方が多くの数を含んでいるように思いますが、 $f:(0,1)\rightarrow \ni x\mapsto \tan{\frac{\pi}{2}(2x-1)}\in \mathbb{R}$ とすると、これは全単射です.これより、 $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ では、中に入っている数の個数が等しいことが分かります.
相当ヤバイことが起こっていることを理解できましたでしょうか？ちなみに、もっとやばいことを言うと、 $\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}^{n}$ にも全単射が存在します(すなわち、中に入っている数の個数が等しい.}*1

以上で $\mathbb{R}$ が相当ヤバイ性質を持っていることがざっくりわかりました.それでは、本題に戻りましょう.無理数ってなに？と聞かれて答えられない理由は、無理数を明確に定義していないからです.高校まででは感覚で理解してきたからです.

無理数とは、有理数のみからなる数列(有理数列)の極限として構成されます.ちなみに、ここでは相当非自明でヤバイ操作が行われるため、上の例であげたような変なことが起こってしまうのです.

ちなみに、ディリクレ関数と言うものがあります.xが有理数のときに1の値をとり、無理数のときに0の値を取る関数です.この関数を積分するとその値は0になります.これが示しているのは、無理数は実数よりも圧倒的に数が多いということです.
構成の非自明さゆえにいろいろ不思議なことが起こるのです.

ところで、循環論法で思い出したのですが、 $\lim \frac{\sin{x}}{x} =1$ という、理系高校生なら必ず知っている公式があります.もちろん証明は高校の教科書に載っているのですが、実はこれも循環論法となっています.どこで循環論法になっているのかは各自考えてみてください.ちなみに、それを回避するためにも、 $\sin{x}$ は $\sin{x} :=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1}$ と定義すると見通しが良いです.
僕は高校生のころ、 $\sqrt{2}$ が実際に存在している数なのか疑問に思ったことがあります.今では自分なりの答えは出せました.みなさんは $\sqrt{2}$ は存在すると思いますか？