数学を勉強してるって、実際どんなことやってるの？と言われたとき
はい、どうも.
普段、普通のひとと絡むときに、趣味は何ですか？と聞かれると、数学以外を答えるのですが、他には？他には？としつこい場合は数学と答えます.
まあ、そういうひとに数学が趣味と答えると、引かれるか、もしくは数学ってなにやってるの？と聞かれるため今日はその話題について書きます.
((((のつもりだったけれども、途中で書くのがめんどくさくなって中途半端になったのでいつか加筆します.))))
抽象数学のモチベーション
数学ってなにやってるの？と言われたとき、一番言いやすいのは普段使っている計算の一般化としての群論だとおもう. 以下では普段何をやってるのか？と聞かれたときの回答と、これから群論をはじめとする代数学を学ぶ方たちへのモチベーションになるようなことを話せればいいと思う.
とりあえず、群の定義を述べておく. 易しい内容なので、数学が苦手な読者もついていただければと思う.
定義1 を空ではない集合とする.
上の演算が定義されていて次の(1)~(3)の性質を満たすとき、
を群(Group)と言う.
(1)単位元とよばれる元があり、すべての
に対し
となる.
(2)すべてのに対し、
が存在し、
となる.この元
は
の逆元とよばれ、
と書く.
(3)(結合法則)すべての対し、
が成り立つ.*1
例2 整数全体の集合は加法に関して群である.(上の(1)~(3)の条件を満たすことは簡単に分かる.)
さて、上で群を定義したわけだが、これにより我々は数字の上だけだった演算の世界を飛び越え、あらゆるものの演算を考えられるようになる.
例3 以下の文を解読せよ.
cuuz vz cgxsgibz
初見では、一体なんのこっちゃ！となることであろう.実はこの文章は、,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
と、文字の置換がなされているのである.(気づくかい！！！)
この置換を当てはめると、先ほどの文章は、
meet at midnight
となる.*2
例3は暗号の一例であるが、実は暗号は数学の領域に入るものであって、その根幹にある理論は上で定義を述べた群論なのである.(上で述べた例3も群となっている.)
また、例えば、ルービックキューブも動かし方を元として考えると群になっていることが分かる.ルービックキューブは群論を用いて考えることにより、解くことができるのだ.
上のように、抽象的に定義し考えることにより、あらゆるものに適用し応用することができるようになる.これが数学のすばらしさであろう.
